Podłogówka to wdzięczny temat. Jej popularność rośnie, coraz więcej budynków w Polsce projektuje się oparciu o ten system, także w segmencie budynków jednorodzinnych. O podłogówce napisano już tyle, że trudno wymyślić coś nowego. Można ewentualnie, a nawet trzeba, walczyć z mitami, błędnymi informacjami, złymi praktykami – tak w zakresie projektowania, jak i wykonawstwa i użytkowania.

W tym artykule, będącym pierwszą częścią mini-cyklu, poruszę jednak nieco inny aspekt, o którym właśnie nie pisze się dużo, a o którym warto wiedzieć, aby zmierzyć się z tytułem tego artykułu. Bo ten, chociaż trochę żartobliwy i trochę prowokacyjny, to taki właśnie ma być, jak to często ma miejsce w przypadku tego akurat autora. A konkluzja będzie jeszcze ciekawsza, ale to dopiero w ostatniej części tego mini-cyklu.

Wprowadzenie – trochę teorii
Zacznijmy od tego, że – podobnie, jak „zwykły” grzejnik – podłogówka obliczana jest z użyciem konkretnych algorytmów i w oparciu o pewne zasady. Większość z tych zasad jest wspólna, a zapoznać się z nimi można sięgając do artykułu [1]. Jest kilka różnic, ale generalnie zadanie jest takie samo – zapewnienie odpowiedniej temperatury w danym pomieszczeniu. Tyle, że grzejnik podłogowy z zasady jest częścią tego pomieszczenia, bo jest częścią podłogi. Ten właśnie fakt sprawia, że algorytmy obliczeniowe są w tym przypadku bardziej skomplikowane, niż dla „zwykłych” grzejników. Podłoga zarówno bowiem pomaga rurom – działa jak ożebrowanie, zwiększając powierzchnię wymiany ciepła i tym samym moc cieplną, jak i przeszkadza – stawiając dodatkowy opór cieplny. Suma summarum jednak efekt jest in plus – zwielokrotnienie powierzchni wymiany ciepła w stosunku do powierzchni ścianki samej rury góruje nad efektem zmniejszeniem temperatury na drodze od tej ścianki do powierzchni podłogi, z której emitowane jest ciepło.

A jakie są te algorytmy i do czego służą? Służą przede wszystkim do obliczania jednostkowej mocy cieplnej, w odniesieniu bądź do metra bieżącego rury, bądź w do metra kwadratowego powierzchni zabudowy tej rury (czyli – grzejnika, jaki w ten sposób jest tworzony), a wśród nich wymienić można następujące metody:

• Metoda oporów zastępczych (metoda trapezów) opracowana przez prof. Witolda Wasilewskiego,
• Metoda zawarta w rodzinie norm z serii PN-EN 1264,
• Metoda Kalousa–Kollmara,
• Metoda Missenarda,
• Metoda źródeł i upustów (wg Faxéna),
• Metoda źródeł i upustów (wg Szorina),
• Metoda żebra.

W Polsce, przez wiele lat, najczęściej stosowana była metoda trapezów. Także dedykowane pakiety komputerowe służące do projektowania instalacji ogrzewczych często opierały się właśnie na niej. Natomiast od dłuższego już czasu zwykle stosowana jest metoda zawarta w normie PN-EN 1264. Na tym się skupimy – pokażę, że wykonanie niezbędnych obliczeń nie jest łatwe i że potrzebna jest tutaj specjalistyczna wiedza, która na końcu przekładana jest na owy rozstaw wężownicy i może to sprawiać wrażenie, że temat jest bardzo prosty. A skoro jest prosty – to każdy może to zrobić.

Metoda oporów zastępczych (metoda trapezów)
Metoda ta została opracowana w latach siedemdziesiątych przez profesora Witolda Wasilewskiego. Wyznacza się nią moc cieplną przypadającą na 1 m² powierzchni podłogi lub na 1 mb wężownicy, m.in. przy znanej konstrukcji podłogi, znanym rozstawie (module ułożenia) rury i jej średnicy oraz znanych parametrach temperaturowych pracy (zasilanie/powrót). W oparciu o to można określić wymaganą długość wężownicy. W metodzie trapezów pomija się opór cieplny ścianki rury oraz opór wnikania ciepła od czynnika grzewczego do wewnętrznej powierzchni rury. W obliczeniach zakłada się, że wartość oporu napływu ciepła od strony czynnika grzejnego nie przekracza 5% całkowitego oporu cieplnego grzejnika. Temperatura wody równa jest średniej arytmetycznej temperatur wody grzejnej.

Nazwa metody pochodzi od założeń w niej przyjętych. W metodzie tej rzeczywistą konstrukcję grzejnika podłogowego, złożonego z kilku różnych warstw, zastępuje się modelem obliczeniowym, zakładając, że wężownica jest umieszczona w płycie jednorodnej, tj. jednowarstwowej. W tym celu wprowadza się pojęcie zastępczej grubości warstwy grzejnika o współczynniku przewodzenia ciepła takim jak materiał, w którym znajduje się wężownica (jastrych). Grubości poszczególnych warstw przelicza się na ekwiwalentną grubość jastrychu, która da ten sam opór cieplny, co dana warstwa. Wówczas obliczone grubości można bezpośrednio zsumować, uzyskując grubość zastępczej jednorodnej warstwy i zastępczy całkowity opór cieplny. Na przykład, aby zastąpić jastrychem daną grubość styropianu i uzyskać ten sam opór cieplny, grubość jastrychu musi być tyle razy większa od grubości styropianu, ile razy większy jest współczynnik przewodzenia ciepła tego jastrychu.

Metoda oporów zastępczych występuje też pod nazwą metoda trapezów. Ta nazwa wynika z kolejnego założenia metody. Otóż konstrukcję podłogi dzieli się w niej, w jednej płaszczyźnie, na wycinki o kształcie trapezów. Figurę tę uzyskuje się z cylindrycznego wycinka podłogi, który, gdy jest dostatecznie mały, może być przybliżonym trapezem. Zaprezentowano to na rysunku 1.

Elementarny trapez jest wymiarowany i wyznaczany jest dla niego opór cieplny ku górze oraz ku dołowi. Następnie oblicza się całkowity opór cieplny grzejnika podłogowego ku górze i ku dołowi. Pozwala to na wyznaczenie mocy cieplnej i temperatury warstwy wierzchniej.

Całkowity opór cieplny, odniesiony do powierzchni b’ · l (l=1), elementarnego trapezu może być traktowany jako opór elementarnego wycinka ścianki cylindrycznej. Dla ścianki cylindrycznej całkowity opór przewodzenia ciepła R’_c , odniesiony do zewnętrznej powierzchni ścianki o jednostkowej długości l=1 m (F = 2 · π · r²), wynosi:

Opór jednostkowy R’_j , odniesiony do 1 m² powierzchni zewnętrznej F, dla ścianki cylindrycznej ( F = 2 · π · r₂ · l = 2 · π · r₂  · 1 = 2 · π · r₂) wynosi:

Aby z powyższych wzorów wyznaczyć opór cieplny, posługując się jedynie wymiarami geometrycznymi danego trapezu, konieczne jest zastąpienie promieni r₁ i r₂ wymiarami trapezu. Z podobieństw trójkątów otrzymuje się zależności:

Przy założeniu, że wartość kąta rozwarcia boków wycinka jest mała, otrzymuje się:

Dla podanego elementarnego wycinka (F = b’ · l = b’ · 1), porównując wzory (1) i (2), otrzymuje się:

Podstawiając do tej zależności równania (3) i (5), otrzymuje się zapis:

Wyraża on całkowity opór przewodzenia ciepła przez elementarny trapez, odniesiony do powierzchni F = b’ · l = b’ · 1.

W metodzie zakłada się, że omówiony trapez jest elementarnym trapezem, składającym się na większy trapez, o znanych wymiarach a, b oraz h_o, jak na rysunku 2.

Analogicznie do wzoru (1), całkowity opór przewodzenia ciepła R'_CX elementarnego trapezu w odległości x od osi y można określić jako:

Występuje tu przypadek oporów równoległych, a zatem odwrotność oporu całkowitego całego trapezu R_c jest sumą odwrotności oporów całkowitych elementarnych trapezów:

Po scałkowaniu i podstawieniu granic otrzymamy zależność na całkowity opór przewodzenia ciepła trapezu R_c , odniesiony do powierzchni F = b · l: 

Na rysunku 3 zaprezentowano model obliczeniowy grzejnika podłogowego.

Jak widać, dolne podstawy trapezów stykają się z rurami, a górne są elementami powierzchni zewnętrznej, oddającej ciepło. Zakłada się, że podstawa górna a_g oraz dolna a_d (umowne płytki grzejne) leżą na górnej i dolnej tworzącej wężownicy. Łączna długość płytek grzejnych a_g i a_d jest równa zewnętrznemu obwodowi rury wężownicy, a podział ich długości jest proporcjonalny do strumienia ciepła oddawanego przez grzejnik podłogowy do góry i w dół.

Obliczenia cieplne, na podstawie modelu z rysunku 2, zaczyna się od zastąpienia konstrukcji niejednorodnego stropu przez strop o grubości zastępczej do góry h_ug (odpowiednik parametru h_og dla płyty jednorodnej) oraz do dołu h_ud (odpowiednik parametru hod dla płyty jednorodnej), o współczynniku przewodzenia ciepła λ_u,0 jak dla warstwy, w której znajduje się wężownica: 

gdzie człony Σs_i /λ_i oznaczają zastępczy opór cieplny przewodzenia poziomych warstw stropu ułożonych pod lub nad wężownicą.

Odległości pionowe od osi rury do górnej i dolnej powierzchni grzejnej wynoszą:

Orientacyjny (wstępny), średni jednostkowy opór przenikania ciepła trapezu:

Współczynniki wnikania ciepła α_g i α_d należy wstępnie przyjmować zgodnie z tabelą 1, lub obliczać ze wzorów (jeśli znana jest temperatura powierzchni grzejnika):

▶ dla przepływu ciepła od dołu (podłogi) ku górze, jak ze wzoru: 

▶ dla przepływu ciepła od góry (sufitu) ku dołowi, zgodnie ze wzorem: 

Orientacyjny (wstępny) jednostkowy strumień ciepła (wydajność cieplna z 1 mb wężownicy) oblicza się ze wzorów:

▶ do góry:

▶ do dołu: 

Długości płytek grzejnych ad i ag są proporcjonalne do strumienia ciepła oddawanego przez grzejnik do dołu i do góry:

Znając wstępne długości płytek grzejnych, całkowity opór cieplny przewodzenia trapezu, długości podstaw b i a_g (a_d) oraz wysokości h_og (h_od) oblicza się ze wzorów:

Znając opór przewodzenia ciepła trapezów oblicza się jednostkowy opór przenikania ciepła, odniesiony do 1 mb wężownicy, ze wzorów:

oraz jednostkowy opór przenikania ciepła, odniesiony do 1 m² powierzchni grzejnika, ze wzorów:

▶ do góry:

▶ do dołu: 

Jednostkowy strumień ciepła grzejnika (wydajność cieplna z 1 mb wężownicy) oblicza się ze wzorów:

Jednostkowy strumień ciepła odniesiony do 1 m² powierzchni grzejnika (gęstość strumienia ciepła) (b – rozstaw wężownic, m) oblicza się ze wzoru:

Średnią orientacyjną temperaturę powierzchni podłogi i sufitu można określić wstępnie, dla przyjętych wartości współczynników wnikania ciepła zgodnie z tabelą 1, z zależności:

Na podstawie obliczonych średnich temperatur podłogi i sufitu dokonuje się, drogą iteracji, korekty początkowych wartości współczynników wnikania ciepła α_d i α_g . Na podstawie nowych wartości jest określany nowy opór cieplny, jednostkowa moc cieplna oddawana przez wężownicę i nowe wartości temperatury podłogi i sufitu. Algorytm postępowania zaprezentowano poniżej.

1. Obliczenie wstępnych średnich wartości oporów przenikania ciepła trapezu do dołu i do góry, wg wzorów (15) i (16).

2. Obliczenie wstępnych jednostkowych strumieni ciepła (wydajność cieplna z 1 mb wężownicy) skierowanych do dołu i do góry, wg wzorów (21) i (22).

3. Wstępne określenie wymiarów podstaw dolnej i górnej trapezu, wg wzorów (23) i (24).

4. Obliczenie całkowitych oporów cieplnych przewodzenia trapezów, wg wzorów (25) i (26).

5. Obliczenie jednostkowych oporów przenikania ciepła, wg wzorów (27-30).

6. Ponowne obliczenie jednostkowych, skorygowanych jednostkowych gęstości strumieni ciepła, wg wzorów (31-34).

7. Obliczenie średniej orientacyjnej temperatury powierzchni podłogi i sufitu, wg wzorów (35) i (36).

Obliczenia sprawdzające

8. Skorygowanie wymiarów trapezu (na podstawie obliczonych jednostkowych gęstości strumieni ciepła, wg wzorów (31) i (32) lub (33) i (34).

9. Obliczenie skorygowanych oporów cieplnych przewodzenia trapezów, wg wzorów (25) i (26).

10. Obliczenie skorygowanych współczynników wnikania ciepła, wg wzorów (19) i (20).

11. Obliczenie skorygowanych jednostkowych oporów przenikania ciepła, wg wzorów (27–30).

12. Obliczenie skorygowanych jednostkowych gęstości strumienia ciepła, wg wzorów (31–34).

13. Obliczenie skorygowanych średnich wartości temperatury powierzchni podłogi i sufitu, wg. wzorów (35) i (36).

Rezultaty wyników obliczeń końcowych (jednostkowa moc cieplna i temperatura powierzchni podłogi) dla pierwszego i drugiego „podejścia” będą się różnić. Jest to naturalnie wpisane w algorytm obliczeniowy. W pierwszym „podejściu” zakładamy wartości pewnych wielkości, których jeszcze nie znamy, bo są one wielkościami szukanymi. W drugim podejściu podstawimy te już obliczone wielkości i uzyskujemy nowe rezultaty, już bliższe rzeczywistości. W ten sposób, wykonując kolejne iteracje dochodzimy coraz bliżej do wyników rzeczywistych. Ile więc potrzebnych jest takich iteracji? Wbrew pozorom – niedużo. Zwykle już drugie „podejście” daje wyniki na tyle zbieżne z pierwszym, że kolejne obliczenia nie są wymagane i można je uznać za wyniki końcowe.

Literatura:
[1] Muniak D.: Dobór wielkości grzejnika do pomieszczenia, Polski Instalator, 6/2019 (280), str.: 20-23
[2] Muniak D.: Grzejniki w wodnych instalacjach grzewczych. Konstrukcja, dobór i charakterystyki cieplne. Wydanie II (rozszerzone i poprawione), PWN, Warszawa 2019