W poprzedniej części cyklu („Polski Instalator” 6/2025) omówiłem kilka podstawowych zagadnień związanych z metodami obliczania wydajności cieplnej grzejnika podłogowego (i - generalnie - płaszczyznowego) i skupiłem się na jednej z bardziej popularnych metod, dodatkowo opracowanej w Polsce - na metodzie trapezów. W tej części zaprezentuję metodykę obecnie często stosowaną i opartą na normie europejskiej (a także - polskiej) PN-EN 1264. Metodyka ta jest nieco mniej uniwersalna obliczeniowo, bo nie jest w całości analityczna, ale za to uwzględnia czynniki, których „stara” metoda trapezów nie uwzględniała.

Chcemy być częścią Europy!
Hasło to jest nieco prowokacyjne, bo wszak częścią Europy - geograficznie i politycznie - jesteśmy, a poza tym wcale nie wszyscy są z takiego stanu rzeczy zadowoleni i tego chcą, jak pokazuje ostatnie kilka lat historii naszego kraju i wyniki ostatnich wyborów…Ale, chcąc nie chcąc - przystępując do Unii Europejskiej zobowiązaliśmy się m.in. do wprowadzania Norm Europejskich do naszego porządku normatywnego, aczkolwiek wcale nie oznacza to obligatoryjnego ich stosowania, bo wszystkie te normy, zgodnie z prawem, mają status dobrowolnych do stosowania [2].

Jednak Normy Europejskie warto jest stosować, z różnych powodów, a w tym przypadku także z powodu dość dobrze opracowanej i zweryfikowanej eksperymentalnie metodyki obliczeniowej, która w serii norm z rodziny PN-EN 1264 - dedykowanych ogrzewaniu i chłodzeniu płaszczyznowemu - jest zawarta. Metodyka ta pozwala dokonywać obliczeń dla różnego rodzaju grzejników podłogowych, a tutaj zaprezentujemy metodykę dedykowaną do grzejników wykonanych w wariantach A i C tej normy. Są to warianty najczęściej spotykane w praktyce, a po szczegóły ich konstrukcji odsyłam do artykułu [3].

Metoda według normy PN-EN 1264
Norma PN-EN 1264, podobnie jak omówiona wcześniej metoda trapezów, podaje zależności pozwalające wyznaczyć moc cieplną grzejnika podłogowego odniesioną do jednostki powierzchni. Dokument ten przyjmuje następujące założenia wstępne:

• Przekazywanie ciepła z powierzchni podłogi do pomieszczenia jest zgodne ze statyczną charakterystyką cieplną;
• Spadek temperatury czynnika grzewczego ∆t_w = 0; w obszarze, gdzie występuje wpływ spadku temperatury czynnika grzewczego na charakterystykę cieplną (rys. 1), spadek ten został uwzględniony przez wprowadzenie logarytmicznej różnicy temperatury czynnika grzewczego ∆t_log;
• Przepływ czynnika w rurze jest turbulentny i spełnia warunek wartości prędkości odniesionej do średnicy rury: ṁ/d_w > 4000 kg/(s · m);
• Nie występuje boczna transmisja ciepła;
• Warstwa przewodząca ciepło ogrzewania podłogowego jest oddzielona od konstrukcji budynku warstwą izolacyjną.

W metodzie tej, w przeciwieństwie do metody trapezów, nie pomija się oporu przewodzenia ciepła ścianki rury. Pomija się jednak, podobnie jak w metodzie trapezów, opór wnikania ciepła od czynnika do wewnętrznej powierzchni rury, z uwagi na jego relatywnie bardzo małą wartość.

W normie tej do określenia mocy cieplnej grzejnika podłogowego przyjęto także założenie, że każda powierzchnia grzewcza o danej średniej temperaturze powierzchni dostarcza taki sam jednostkowy strumień ciepła do każdego ogrzewanego pomieszczenia o identycznej temperaturze wewnętrznej. Przy powyższym założeniu można wyznaczyć statyczną charakterystykę cieplną - w tym przypadku zależność między średnią temperaturą powierzchni, a oddawaną mocą cieplną, bez względu na rodzaj systemu ogrzewczego. Związek ten można wykorzystać dla wszystkich powierzchni ogrzewczych ogrzewania podłogowego, łącznie ze strefami brzegowymi o podwyższonej wydajności grzewczej. Charakterystyka ta jest opisana przytoczonym już równaniem (1) określającym gęstość strumienia ciepła, czyli wydajność cieplną odniesioną do jednostkowej powierzchni:

Graficznie zilustrowano ją na rysunku 1.

Zgodnie z normą na wartość gęstości strumienia ciepła wpływ mają następujące czynniki:

• Podziałka b ułożenia rur w grzejniku podłogowym;
• Grubości s_u i przewodność cieplna λ_E (w normie PN-EN 1264 nazywane też λ_u ) warstwy nad rurami (w której „zatopione” są rury);
• Opór przewodzenia ciepła R_λ,B warstwy wykończeniowej;
• Średnicy zewnętrzna dz rury (dla rury nieizolowanej) lub d_iz dla rury izolowanej (gdzie d_iz to średnica zewnętrzna rury z izolacją;
• Przewodność cieplna materiału rury λ_r i/lub otuliny izolacyjnej λ_iz; dla przewodów niekołowych należy zastosować średnicę równoważną; grubość oraz opór przewodzenia ciepła warstw przyległych o grubości do 0,3 mm może być pominięty.

Gęstość strumienia ciepła, zgodnie z równaniem (1) jest proporcjonalna do różnicy między temperaturą otoczenia a średnią temperaturą podłogi, w potędze n. Zapis ten umożliwia wyznaczenie gęstości strumienia ciepła, ale przy znanej temperaturze powierzchni podłogi. Aby wyznaczyć wartość tego parametru w oparciu o znaną konstrukcją grzejnika i dla zadanych temperatur czynnika grzewczego wprowadza się wiele dodatkowych parametrów. Zakłada się przy tym, że zmienność wykładnika potęgowego charakterystyki jest zawarta w przedziale n = 0-0,05. Do obliczeń przyjmuje się wartość n = 0. Gęstość strumienia cieplnego definiuje się wówczas następującym równaniem:

Rozwinięcie poszczególnych członów tego równania przedstawiają zależności (3-5). Wartość współczynnika B zależy od systemu, w którym jest wykonane ogrzewanie podłogowe, w tym od średnicy rury i współczynnika przewodzenia ciepła ścianki, rodzaju otuliny, itd. Gdy współczynnik przewodzenia ciepła ścianki odpowiada współczynnikowi np. dla rur wielowarstwowych, używanych powszechnie w ogrzewaniu płaszczyznowym, i rura nie jest w otulinie, współczynnik ten przyjmuje wartość B = B₀ = 6,7 W/(m² ∙K). W innych przypadkach należy dokonać dodatkowych obliczeń, wg zależności:

Jeśli rura jest umieszczona w dodatkowej otulinie lub izolacji o średnicy zewnętrznej d_z,iz, wewnętrznej d_w,iz i współczynniku przewodzenia ciepła λ_iz powyższa zależność przyjmuje postać:

Człon wiąże ze sobą parametry elementów podłogi, takie jak współczynnik pokrycia podłogi, współczynnik modułu ułożenia (podziałki) rur, współczynnik osłonięcia oraz współczynnik zewnętrznej średnicy przewodu. Rozwinięta postać zależności na  zależy od wykonania grzejnika podłogowego. Dla omawianych przypadków wykonania w wariantach A i C równanie na gęstość strumienia ciepła ma następującą postać:

Tak zapisane równanie można również przedstawić wprowadzając współczynnik przeliczeniowy (ekwiwalentny) na współczynnik przenikania ciepła, który tworzą wymienione parametry. Podstawiając:

otrzymamy zapis:

Odnosząc natomiast powyższe do danej powierzchni A grzejnika, zapiszemy, że (wzór nie występuje w normie):

Współczynnik a_B jest współczynnikiem pokrycia podłogi obliczanym na podstawie równania:

W powyższych równaniach wielkości oznaczone symbolem 0 są wartościami odniesienia i wynoszą: s_u,0 = 0,045m, λ_u,0 = 1 W/(mK), λ_R,0 = 0,35 W/(mK), e₀ = 0,002 m. Współczynnik wnikania ciepła zakłada się na poziomie α_g = 10,8 W/(m² K).

Współczynnik a_b jest współczynnikiem podziałki rur, zależnym od oporu cieplnego warstwy wierzchniej podłogi R_λ,B. Można go odczytać z tabeli 1 lub z rysunku 2.

Współczynnik a_u jest współczynnikiem osłonięcia, zależnym od modułu ułożenia rur i oporu cieplnego wierzchniej warstwy podłogi. Można go odczytać z tabeli 2 lub z rysunku 3.

Współczynnik a_dz jest współczynnikiem średnicy rury, zależnym również od modułu ułożenia rur i oporu cieplnego warstwy wierzchniej podłogi. Można go odczytać z tabeli 3, lub z rysunku 4.

Wykładniki potęgowe przy poszczególnych składnikach a_i w równaniu (5) należy obliczać następująco:

Gdy b > 0,375 m, gęstość strumienia cieplnego oblicza się z zależności:

Parametr  określa gęstość strumienia ciepła obliczoną dla b = 0,375 m.

Gdy grubość warstwy wykończeniowej s_u ≤ 0,065 m oraz gdy 0,065 m < s_u ≤ s_u * ,gęstość strumienia ciepła oblicza się z równania 5. Parametr s_u * wynosi:

Jeśli natomiast s_u > s_u * , należy korzystać z równania (7), gdzie C oblicza się z zależności:

W równaniu tym parametr C_su = s_u * określa wartość współczynnika C obliczoną dla s_u = s_u * .

Norma definiuje pojęcie krzywej granicznej gęstości strumienia ciepła i granicznej różnicy temperatur między czynnikiem grzewczym a otoczeniem. Krzywa graniczna gęstości strumienia ciepła określa zależność między gęstością strumienia ciepła, a logarytmiczną różnicą temperatury między czynnikiem grzewczym, a powietrzem w pomieszczeniu, przy osiągnięciu maksymalnej dopuszczalnej temperatury podłogi i tym samym nadwyżki tej temperatury w stosunku do temperatury powietrza (9 i 15^o C), dla określonego oporu cieplnego warstwy wierzchniej.

Dla przypadku b ≤ 0,375 m krzywą graniczną wyznacza się ze wzoru:

Graficznie pokazano to na rysunku 5.

W przypadku gotowych nomogramów do doboru ogrzewania podłogowego dostarczanych przez producentów norma zaleca, aby charakterystyki gęstości strumienia zawierały przynajmniej charakterystyki dla oporu cieplnego pokrycia podłogi na poziomie R_λ,B = (0; 0,05; 0,1; 0,15) (m² K)/W, przy danym rozstawie rur b.

Parametr Δt_mg,0 oznacza różnicę między średnią temperaturą powierzchni grzejnika a temperaturą otoczenia, dla warunków odniesienia 0, w których Δ_tmg,0 = 9^o C. Wartość współczynnika B_gr należy wybrać z tabeli 4 dla przypadku s_u /λ_E ≤ 0,0792, lub z tabeli 5 dla przypadku s_u /λ_E > 0,0792. Można go także odczytać kolejno z rysunków 6 i 7.

Wartość wykładnika n_gr należy wybrać z tabeli 6 dla przypadku s_u /λ_E ≤ 0,0792, lub z tabeli 7 dla przypadku s_u /λ_E > 0,0792. Można go także odczytać kolejno z rysunków 8 i 9.

Krzywa graniczna różnicy temperatur między czynnikiem grzewczym, a otoczeniem wynika z krzywej granicznej gęstości strumienia ciepła i ma następującą postać:

Graficzną ilustrację granicznej temperatury zaprezentowano na rysunku 10.

Gdy b > 0,375 m, krzywe graniczne wyznacza się ze wzoru:

Parametry q̇_g,gr,0,375 i Δt_m,gr,0,375 są parametrami q̇_g,gr i Δt_m,gr obliczonymi dla rozstawu rur b = 0,375. Współczynnik f_gr zależy od stosunku s_u /b i oblicza się go następująco:

Parametr q̇_g,gr,max oznacza maksymalną gęstość strumienia ciepła dla przypadku t_mg - t_i = t_mg,max - t_i = 9^o C, lub t_mg - t_i = t_mg,max - t_i = 15^o C. Można go obliczyć z zależności (1), lub odczytać z wykresu na rysunku 5.

Opisane krzywe graniczne mają zastosowanie w przypadku, gdy wychłodzenie czynnika jest nie większe, niż ∆tw = 5o C. Wykorzystywane są one również do określenia maksymalnej temperatury zasilania. Norma podaje również metodykę wyznaczania strat ciepła w dół grzejnika podłogowego oraz wymaganego oporu cieplnego warstw ułożonych poniżej rur grzewczych.

Gęstość strumienia ciepła emitowanego w dół oblicza się z zależności:

Parametr R_g określa sumę oporów cieplnych warstw leżących powyżej wężownicy, włącznie z oporem wnikania ciepła przyjmowanym na stałym poziomie 10,8 W/(m² K). Parametr R_d określa sumę oporów cieplnych warstw leżących poniżej wężownicy, włącznie z oporem wnikania ciepła przyjmowanym na stałym poziomie 5,89 W/(m² K). Gdy temperatury po obu stronach grzejnika są takie same, powyższe równanie upraszcza się do postaci:

W celu ograniczenia strumienia ciepła w dół, ku niżej położonym pomieszczeniom, wymagany jest określony opór cieplny warstwy izolacyjnej, obliczany na podstawie równania:

Równanie to dotyczy najpopularniejszego rozwiązania, w którym warstwa izolacji ma jednakową grubość na całej powierzchni (płaska płyta) i rura wężownicy leży w całości ponad nią. Norma określa minimalne wartości oporu cieplnego warstwy izolacji, w zależności od temperatury poniżej grzejnika podłogowego. Dane te zebrano w tabeli 8.

Istotne jest to, że wytyczne te są podane dla temperatur zewnętrznych nie mniejszych, niż -15^o C. W warunkach klimatycznych wielu krajów europejskich, w tym także w Polsce, projektowe temperatury zewnętrzne są niższe (w Polsce sięgają -24^o C). Grzejnik podłogowy natomiast może być zainstalowany na przykład w stropie nad przejazdem, kiedy do obliczeń wymaganego oporu cieplnego i grubości izolacji musi być przyjęta projektowa temperatura powietrza zewnętrznego. W takim przypadku grubość izolacji należy odpowiednio zwiększyć.

Norma podaje metodę wyznaczania projektowej średniej różnicy temperatury między czynnikiem, a otoczeniem, a także projektowej temperatury zasilania. Temperatura zasilania czynnika grzewczego ogrzewania podłogowego jest zdeterminowana temperaturą zasilania pomieszczenia o najwyższej wymaganej jednostkowej gęstości strumienia ciepła q̇_g,gr,max, z pominięciem łazienek. Zakłada się, że warstwa wykończeniowa podłóg w pomieszczeniach ogrzewanych ma jednolity opór cieplny. W ogrzewaniu pomieszczeń bytowych zakłada się jednolite pokrycie o oporze cieplnym R_λ,B = 0,1 (m² K)/W. Jeżeli opór cieplny R_λ,B jest większy, należy go uwzględnić. Dla łazienek zakłada się opór cieplny na poziomie R_λ,B = 0. Przyjmuje się wychłodzenie czynnika grzewczego na poziomie ∆t_w ≤ 5K. Dla pomieszczenia o maksymalnej wartości q̇_g przyjmuje się podziałkę b ułożenia rur tak, aby uzyskana wartość q̇_g była mniejsza lub równa wartości granicznej q̇_g,gr .

Dla tych przypadków zaleca się stosowanie niewielkiego rozstawu rur. Gdy q̇_g,gr,max < q̇_g,gr, dopuszczalna jest projektowa różnica temperatury między czynnikiem grzewczym na zasilaniu, a temperaturą pomieszczenia na poziomie:

Jeśli ∆t_w/∆t_m ≤ 0,5, to maksymalna dopuszczalna różnica między temperaturą czynnika na zasilaniu, a temperaturą powietrza w pomieszczeniu wynosi:

gdzie:

Gdy ∆t_w/∆t_m > 0,5, to należy posłużyć się równaniem:

Projektową temperaturę zasilania określa zależność

Analiza powyższych zapisów wskazuje, że wartość parametru ∆t_z,pr jest zdeterminowana przez pomieszczenie, w którym występuje maksymalna wartość parametru q̇_g,max. Dla wszystkich pozostałych j-tych pomieszczeń, zasilanych czynnikiem grzewczym o tej samej temperaturze t_z,pr oraz przy spełnieniu warunku ∆t_w/∆t_m,j ≤ 0,5, odpowiednie spadki temperatury czynnika grzewczego ∆t_w,j należy określić ze wzoru (29) lub z rysunku 10 (wykorzystując różnicę temperatury ∆t_m,j dla różnych jednostkowych gęstości strumienia ciepła q̇_g,j):

Jeżeli ∆t_w/∆t_m,j > 0,5, to spadek temperatury czynnika oblicza się z zależności:

Projektowy strumień czynnika grzewczego ṁ_pr obiegu grzewczego należy obliczyć następująco:

Jeśli różnica temperatur ∆t_i po obu stronach grzejnika jest zerowa, wzór upraszcza się do postaci (wzór nie występuje w normie):

Opisane metodyki obliczania gęstości strumienia ciepła pozwalające wyznaczać wymagany moduł ułożenia wężownicy, jej długość oraz temperaturę powierzchni wymagają znajomości oporu warstwy wierzchniej. Wynika z tego pewna niedogodność dla projektantów i ewentualne ograniczenia dla użytkowników pomieszczeń z takimi grzejnikami. Otóż projektant na etapie projektowania nie jest w stanie przewidzieć, jaką warstwą grzejnik zostanie wykończony przez użytkownika i dlatego trudno jest ustalić, jaką wartość oporu cieplnego warstwy wierzchniej przyjąć do obliczeń projektowych. W praktyce przyjmuje się często wartość R_g = 0,1 (m² K)/W. Z tego względu w praktyce często należy korygować parametry temperaturowe pracy, aby utrzymać zadaną moc cieplną, gdy faktyczny opór cieplny warstwy wierzchniej jest inny, niż założony do obliczeń. W przypadku projektowania grzejnika konwekcyjnego problem ten, siłą rzeczy, nie występuje.

Wymiarowanie grzejnika ściennego lub sufitowego zgodnie z normą PN-EN 1264 należy przeprowadzić wg zależności analogicznych jak dla ogrzewania podłogowego. Zasadniczą różnicą jest to, że trzeba przyjąć inne wartości całkowitego współczynnika wnikania ciepła do powietrza i inne maksymalne temperatury powierzchni grzejnika. Dla grzejnika ściennego parametry te wynoszą a = 8 W/(m² K) (część 5 normy PN-EN 1264) oraz t_mg,max = 40^o C (część 3 normy PN-EN 1264). Dla grzejnika sufitowego są to wartości a = 6,5 W/(m² K) (część 5 normy PN-EN 1264) oraz t_mg,max = 29^o C (część 3 normy PN-EN 1264).

Na podstawie różnic zewnętrznego współczynnika wnikania ciepła dokonuje się korekty współczynnika C w równaniu (15), wg zależności:

Człon ∆R_a mówi o dodatkowym oporze cieplnym wnikania w stosunku do wejściowego, wynikającego z przyjęcia współczynnika wnikania ciepła na poziomie α = 10,8 W/(m² K), jak dla ogrzewania podłogowego. Oblicza się go z zależności:

Parametr C_Floor jest to współczynnik C dla braku oporu cieplnego warstwy wierzchniej:

Parametr C*_Floor jest to współczynnik C_Floor dla oporu cieplnego warstwy wierzchniej R*_λ,B wyższej od R_λB = 0:

Literatura:
[1] Muniak D.: Grzejniki w wodnych instalacjach grzewczych. Konstrukcja, dobór i charakterystyki cieplne. Wydanie II (rozszerzone i poprawione) PWN, Warszawa 2019
[2] Muniak D.: Polskie Normy - (nie)obowiązkowość stosowania, Polski Instalator, 9/2021 (297), str.: 38-41
[3] Muniak D.: Rozwiązania systemowe do wykonywania ogrzewania podłogowego, Polski Instalator, 6/2022 (303), str.: 22-26